K-Means 聚类的目标函数：簇内误差平方和

1. 什么是 K-Means？

K-Means 是一种无监督、迭代式的聚类算法：
给定数据集 {x₁, x₂, …, xₙ} 与预设簇数 K，算法把样本划分为 K 个不相交的簇 C₁, C₂, …, Cₖ，使得同一簇内样本尽可能相似，不同簇间样本尽可能远离。

核心思想：
> “让簇内‘抱团’，让簇间‘疏远’。”

2. 目标函数 J：簇内误差平方和（WCSS）

K-Means 用几何距离衡量相似性，目标函数 J 定义为：
J=∑k=1K∑x∈Ck∥x−μk∥2 J = \sum_{k=1}^{K} \sum_{x \in C_k} \|x - \mu_k\|^2J=k=1∑K​x∈Ck​∑​∥x−μk​∥2

• μₖ：第 k 个簇的质心（centroid）
• ‖x − μₖ‖²：样本到所属质心的欧氏距离平方
• J 的物理意义：Within-Cluster Sum of Squares (WCSS)，即“簇内误差平方和”

> 算法目标：找到使 J 最小的簇划分 {C₁,…,Cₖ} 与质心 {μ₁,…,μₖ}。

3. 迭代两步：坐标下降求 J

K-Means 采用坐标下降策略，交替更新两个变量：

示例：

1def kmeans(X, K, max_iter=100):
2    n, d = X.shape
3    mu = X[torch.randperm(n)[:K]]          # 随机初始化 K 个质心
4    for _ in range(max_iter):
5        # E步：计算距离并分配样本
6        dist = torch.cdist(X, mu)           # (n, K)
7        labels = torch.argmin(dist, dim=1)  # (n,)
8        # M步：重新计算质心
9        for k in range(K):
10            mask = labels == k
11            if mask.sum() > 0:
12                mu[k] = X[mask].mean(dim=0)
13    return labels, mu
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